млжно ли уволиться и получить расчет по доверенности?

Можно в организацию направить заказное письмо, где указать реквизиты для перечисления денег, и адрес, куда выслать трудовую книжку ценным письмом с описью вложения. Или попросить кого-л передать Ваше письмо секретарю, с отметкой на втором экземпляре. То, что организация провела неправильно мероприятия - это уже их проблемы (отсутствие Ваших подписей в каких либо документах) , я поняла, что у Вас точно уж нет желания беспокоиться за бывшего работодателя, раз они с Вами не смогли договориться. А зачем Вам тратить деньги и время на нотариуса?

лучше не так.
напишите им (заказное письмо) :
1)чтобы они вам перевели деньги на ваш счёт в банке, согласно ст. 136 ТК РФ.
2)а трудовую книжку и др. документы выслали вам на ваш адрес ценным письмом, согласно ст. 84.1 ТК РФ.

Получить расчет, трудовую книжку может быть по нотариальной доверенности и можно, но вот подписать заявление об увольнении сомневаюсь, его можно направит по почте заказным письмом.

Да, можно. Но только такая доверенность должна быть заверена нотариусом. И там должно быть чётко прописано - кому Вы доверяете, и какие действия (например, написать за Вас заявление об увольнении, ставить подпись от Вашего имени в приказе на увольнение, получить Вашу трудовую книжку, расписаться в журнале о ее получении, и получить расчет)