Человек попал под сокращение и за неделю до увольнения тяжело заболел

1)его нельзя уволить по сокращению, пока он болен (ч. 6 ст. 81 ТК РФ)
2)так что в любом случае ему оплатят всё время больничного
3)а потом, если они захотят его снова уволить, а в уведомлении был указан конкретный срок увольнения (а так и должно быть по закону) , то им придётся снова давать ему уведомление о том, что он будет уволен по сокращению через 2 месяца (ст. 180 ТК РФ)
4)так что болейте на здоровье...

уволят только после выхода с больничного - следующим днём.

Больничный, конечно, оплатятить весь обязаны.

должны оплатить больничный.. .
а уволят днем закрытия больничного...

Ранее: Как правило, пособие выдается, если временная нетрудоспособность наступила в период работы. Периодом работы считается первый ее день и до дня увольнения, включая и день увольнения, т. е. все то время, в течение которого работник состоит в трудовых отношениях с работодателем. В некоторых случаях допускаются изъятия из этого общего правила, например при наступлении длительной нетрудоспособности (свыше месяца) в течение месяца после увольнения с работы по уважительной причине.
Теперь: С 1 января 2005 г. эти правила изменены: в 2005 г. пособие по временной нетрудоспособности вследствие заболевания или травмы (за исключением несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний) выплачивается застрахованному за первые два дня временной нетрудоспособности за счет средств работодателя, а с третьего дня - за счет средств Фонда социального страхования (ст. 8 Федерального закона от 29 декабря 2004 г. N 202-ФЗ // РГ. 2004. 31 дек.) . Данное правило, видимо, трансформируется в перспективе в постоянное правило.