Нужна помощь юриста или адвоката

В ТК РФ нет такого понятия отработка, поэтому назначить и заставить никто не может.
Работник должен письменно ПРЕДУПРЕДИТЬ работодателя о своем желании уволиться не позднее чем за ДВЕ недели ст. 80 ТК РФ (т. е. подать заявление на увольние) . Течение срока предупреждения начинается на СЛЕДУЮЩИЙ день после получения работодателем заявления об увольнении. Ваш муж просто поступил необдуманно написав заявление о приеме на новой работе. Далее +1 день за обращение в поликлинику требовать не могут т. к. этот день войдет в срок предупреждения.
День увольнения и последний рабочий день 20-ое, в этот день должны выдать полный расчет и трудовую книжку с записью ст. 84.1, 140 ТК РФ.
За прогулы конечно могут уволить, но только в том случае, если он не будет являться на работу.
Про больничный честно говоря удивили. . этож надо, по звонку работодателя больничные не выдают. . с каких интересно пор больницы по подобным звонкам работают. . да и чем поможет больничный. . на новую работу как принимать-то будут? Ну если только его пока не оформят...

Если ваш муж написал заявление 6 числа и ему назначили двухнедельную отработку (что, кстати, законно!) , то увольнение должно быть 20 числа! А на новой работе подождут, если они уже согласились его принять.
А вот по поводу увольнения по статье не совсем понятно.. . Ваш муж прогулял или нет?

Работодатель поступает правомерно. В соответствии со ст. 80 ТК РФ работник обязан уведомить работодателя не менее, чем за 2 недели. Исключение- если достигнуто письменное соглашение об уменьшении этого срока (у Вас этого нет) , если человек вышел на пенсию, супруга переводят на работу в др. местность и т. д. То есть, на лицо крайне уважительные причины. Выход на другую работу не является уважительной причиной для работодателя. В Вашем городе одна больница что ли? Нельзя никак купить больничный в поликлинике? Хотя это и не совсем законно, но не секрет, что именно так все и поступают. Еще есть вариант, что если Ваш супруг не до конца использовал свое право на отпуск, то он имеет право потребовать предоставить ему отпуск с последующим увольнением.