Мне 53 года, я пенсионерка. Имею ли я право уволиться с работы без двухнедельной отработки?

несомненно

да, так и пишете: прошу меня уволить по собственному желанию завтра, в связи с выходом на пенсию, согласно ч. 3 ст. 80 ТК РФ. дата подпись

В каждом городе и в каждой организации свои правила .Знаю человека, который уволился и забрал документы и в этот же день устроился на другую работу, где платили в два раза больше и никто ему слова не сказал .

То, что Вы пенсионерка в данном вопросе Вам преимущества не дает.
В данном случае ТК для всех един работодателя надо предупредить за 2 недели. Но Работодатель оставляет за собой право отпустить Вас и раньше. Попробуйте с ним поговорить.
Можете на период оформить больничный лист. Так же ТК предусмотрено Ваше право взять ежегодный оплачиваемый отпуск с последующим увольнением, в этом случае работодателя предупреждать не надо.

На усмотрение работодателя. Если договоритесь.

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, ВЫХОД НА ПЕНСИЮ и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель ОБЯЗАН расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.