Оформление по трудовой книжке или по трудовому договору - есть ли разница?

Разницы нет! Заключение трудового договора, а потом уже запись в трудовую книжку.

Согласно ст. 68 ТК РФ прием на работу оформляется приказом (распоряжением) работодателя, изданным на основании заключенного трудового договора. Содержание приказа (распоряжения) работодателя должно соответствовать условиям заключенного трудового договора.
Приказ (распоряжение) работодателя о приеме на работу объявляется работнику под роспись в трехдневный срок со дня фактического начала работы. По требованию работника работодатель обязан выдать ему надлежаще заверенную копию указанного приказа (распоряжения) .
Прием на работу оформляется по схеме: трудовой договор - приказ о приеме на работу - запись в трудовую книжку.

Странное "ИЛИ" в этой найденной фразе!
Если в соответствии с ТК РФ, то с любым РАБОТНИКОМ (сотрудником) организации любой ОПФ (и даже ИП) должен заключаться Трудовой договор И должны вноситься вноситься соответствующие записи в Трудовую книжку.

Масло, маслянное. Вот как понимаются слова в объявлении.

в силу положений статей 67, 68 ТК РФ: прием на работу оформляется приказом работодателя, изданным на основании заключенного трудового договора; трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя, работодатель обязан оформить трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе..

"оформление по трудовому договору или по трудовой книжке в соответствии с ТК РФ"
возможно не грамотно сформулировано. При трудовых отношениях трудовой договор заключается всегда. Только не всегда требуется трудовая книжка (не нужна при работе по совместительству)
Скорее всего речь шла о гражданско-правовом договоре