если работника увольняют за появление его на работе

Можно уволить по п. 5 ст. 81 ТК РФ. Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случае неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание. Для этого необходимо наличие у работника еше одного непогашенного дисциплинарного взыскания. В Вашем случае лучше увольнять по специальной статье - п. 6б ст 81 ТК РФ за появление работника на работе (на своем рабочем месте либо на территории организации - работодателя или объекта, где по поручению работодателя работник должен выполнять трудовую функцию) в состоянии алкогольного, наркотического или иного токсического опьянения.
Состояние алкогольного опьянения может быть подтверждено как медицинским заключением, так и другими видами доказательств.

вполне

если именно о правомерности при единичном случае, то нет .
но за единичные случаи редко увольняют .
вероятнее было, что и с похмелья, ибо ещё чего, просто предупреждений и выговоров не делали .

Уволен не правильно.

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:
5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;
6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:
а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены) , независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены) ;
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
б) появления работника на работе (на своем рабочем месте либо на территории организации - работодателя или объекта, где по поручению работодателя работник должен выполнять трудовую функцию) в состоянии алкогольного, наркотического или иного токсического опьянения;
(пп. "б" в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Такой формулировки в законодательстве нет. Вы можете уволить только по тем основаниям, которые содержатся в законодательстве, с точной формулировкой.

Да, даже статья есть такая

Формулировка не правомерна.
За появление на рабочем месте в состоянии опьянения увольнение производится по основанию, предусмотренному подпунктом б пункта 6 части 1 статьи 81 ТК РФ и выглядит след. образом : Уволен за появление на работе в состоянии алкогольного ( наркотического, токсического и пр. ) опьянения. "
Если эта ситуация была неоднократно, и раньше не увольняли, а объявляли выговор, например, то в принципе можно уволить с формулировкой "За неоднократное неисполнение без уважительных причин трудовых обязанностей" ( п. 5.ч. 1.ст. 81 ТК РФ) - так как появление в состоянии опьянения это тоже неисполнение трудовых обязанностей. Но та та формулировка, которую вы привели - не проходит.

Уволить можно, но есть "опасность": очень трудно будет доказать, что именно в состоянии АЛКОГОЛЬНОГО и др. опьянения находился работник, т. к. , чаще всего, медики грамотно пишут про "нетрезвое состояние", а по этому основанию уволить работника нельзя. Алкогольное состояние от нетрезвого состояния отличается существенно: все зависит от промилей в крови.

Данная формулировка неправомерна в любом случае.
Так же не следует забывать о том, что даже если и увольняют за появление на работе в состоянии алкогольного опьянения, то это утверждение работодателя (даже если так оно и было на самом деле) , должно не быть голословным, а подкрепляться доказательствами.
В таком случае факт опьянения должен быть зафиксирован, работник подвергнут медицинскому освидетельствованию (если отказался - составляется акт) .
Если этого всего нет, можно смело оспаривать в суде произведенную в трудовой книжке запись.

нет. если до этого никаких нарушений замечено не было и этот факт единственный