возможно ли работнику банка писать заявление на отпуск без содержания, сроком на 1 год?

ТК РФ не ограничивает срок такого отпуска. Кака договоритесь с работодателем, столько и получите.

Согласно ст. 128 ТК РФ по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
- участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
- работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
- родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
- работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
- работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
- в других случаях, предусмотренных ТК РФ и иными федеральными законами либо коллективным договором.
Согласно ст. 121 ТК РФ в стаж работы, дающий право на ежегодный основной оплачиваемый отпуск, включается время предоставляемых по просьбе работника отпусков без сохранения заработной платы, не превышающее 14 календарных дней в течение рабочего года.

Написать можно, но вот разрешат вряд ли - трудовое законодательство не обязывает работодателя предоставлять такие отпуска.