Может ли работник подать в трудовую инспекцию если решение вынесли по пропуску исковой давности ?

если суд отказал именно по пропуску срока (ст. 392 ТК РФ) , то права работника всё равно нарушены и ГИТ обязана их защитить

в статье 357 ТК РФ написано, что ГИТ не будет рассматривать вопросы, по которым имеется решение суда.

а по вопросу нарушения ваших прав решение суда не имеется, только решение о пропуске срока.

К сожалению ст. 357 ТК РФ запрещает ГИТ выносить свое решение после решения суда или даже если идет рассмотрение спорного вопроса в суде.
По заданному Вами вопросу, все зависит от отношения инспектора ГИТ, может и рассмотреть, но может и отказать.

В силу положений статьи 356 ТК РФ, инспекция труда: осуществляет государственный надзор за соблюдением работодателями трудового законодательства; ведет прием и рассматривает обращения граждан о нарушениях их трудовых прав, принимает меры по устранению выявленных нарушений и восстановлению нарушенных прав. .

если по существу поставленных вопросов суд решение не вынес, обращайтесь в гит, положения статьи 392 на гит не распространяется..

по поводу "высоких судов" есть небольшая проблемка:

в соответствии с процессуальным законодательством суды второй инстанции (апелляционной, кассационной) вправе в предусмотренных законом случаях постановлять новые решения. Однако высшие судебные инстанции разъяснили, что в ст. 199 ГК говорится именно о решении, которое выносит суд первой инстанции: "Заявление стороны в споре о применении срока исковой давности является основанием к отказу в иске при условии, что оно сделано на любой стадии процесса до вынесения решения судом первой инстанции и пропуск указанного срока подтвержден материалами дела" (п. 12 постановления Пленумов ВС РФ и ВАС РФ от 28.02.1995 N 2/1 "О некоторых вопросах, связанных с введением в действие части первой Гражданского кодекса Российской Федерации").

п. с. хотя есть и исключения:
"...по смыслу ст. 199 ГК апелляционная инстанция не вправе применять срок исковой давности, за исключением случаев, когда заявление подано стороной, не уведомленной о рассмотрении дела судом первой инстанции и не участвовавшей в заседаниях суда... "

подать можно, тока толку )
надо типа в более высокий суд / инстанцию обращаться - подозреваю так

В Вышестоящий суд обращайтесь!