можно ли внести в трудовую книжку запись о том, что я во время отпуска за свой счет работала в другой организации?

При оформлении на работу по совместительству трудовая книжка не предъявляется, поскольку она находится по основному месту работы. Работодатели не ведут трудовые книжки на лиц, работающих у них по совместительству. Но по желанию работника по месту его основной работы в трудовую книжку могут быть внесены записи о работе по совместительству (о приеме на работу по совместительству, о переводе на другую постоянную работу и об увольнении с этой работы) . Сведения о работе по совместительству вносятся на основании документа, подтверждающего работу по совместительству (п. 20 Постановления Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. N 225 "О трудовых книжках"). Это могут быть копии приказов о приеме на работу, о переводах, об увольнении.

Нет, но в пенсионный стаж вам это время войдет, если другая организация подаст на вас сведения в ПФР

Основным местом работы может быть только одно место. Если вы хотите, чтобы с другой организации вам сделали запись в трудовую, то необходимо уволиться с основного места работы. А зачем вам это? Если есть договор, то взносы в пенсионный фонд вам и так перечислят. Это будет влиять на размер пенсии.

Можно вносить запись работы по совместительству в кадрах на основной работе, принесите справку с места работы по совместительству из тех кадров.

Да, можно.

запись в трудовую Вам внесут запись по Вашему желанию, на основании документа, подтверждающего работу по совместительству (например: Трудовой договор, копия Приказа о приеме на работу ...)