Если нет записи в трудовой книжке до сих пор по их косяку, мне нужно отрабатывать две недели

Сам факт получения з/платы за исполнение своих трудовых обязанностей свидетельствует о том, что Вы находились в трудовых отношениях с предприятием. Отсутствие записи в трудовой, либо отсутствие трудового договора - это, действительно, косяки работодателя, однако это не снимает с Вас обязанности подчиняться требованиям работодателя ( в рамках Трудового Законодательства) . Уволены Вы будете через две недели после написания заявления. Период нахождения на больничном входит в срок отработки.

отсутствие или наличие Договора не влияет на соблюдение требований норм ТК РФ если работодатель не согласиться отпустить Вас сразу, то ВЫ ОБЯЗАНЫ отработать две недели. В противном случае на законном основании сделает прогул и уволит по статье и будет по закону прав

"...Если нет записи в трудовой... " Так а трудовая где? Если у вас на руках - можете вообще не ходить после больнички никуда. Если на работе - они вам могут и запись сделать не хорошую (опять же после больнички). Нет, если пробудете на больничке днй15 - никакой отработки, так как заяву о увольнении вы подали за две недели до дня, указанного в заявлении.

1. смотря в чём их косяк. .
2. если заявление подписано и издан приказ об увольнении ничего уже не надо отрабатывать..

если есть трудовой договор, то да,
если нет, то вы устроены неофициально

А есть официальный приказ о зачислении в штат? Трудовой договор? если да, то проблем по идее не должно возникнуть, хотя.... Бывают казусы) У меня знакомый год проработал в школе, а запись так и не сделали) Год стажа на ветер