Надо будет ли "отрабатывать" 2 недели? Будет ли запись в трудовой книжке?

Ну не отрабатывай. Кто заставляет? Мож у тебя испытательный срок? не оформили-вали куда угодно. Трудовую-ищи где угодно. Новую заведи, например. Будет. Если ты своим поведением не достанешь работодателя настолько, что твоя трудовая исчезнет, вместе с договором...

Отрабатывать от слова работать, а ТК никого работать не обязывает. Обязывает лишь предупредить работодателя. К тому же вас только приняли, возможно у вас испытательный срок и предупредить работодателя нужно всего за 3 дня.

Если ТД ещё не подписан Вами, можете потребовать, чтобы в него внесли условие об испытании. Например 1 месяц. Тогда в течение этого месяца Вы имеете право уволиться, предупреди об этом работодателя всего за 3 к. д. При отсутствии этого условия можете договор не подписывать. В случае проверки (например, по Вашему обращению в трудинспекцию) работодателю грозит крупный штраф по ст. 5.27 КоАП РФ. 4. Уклонение от оформления или ненадлежащее оформление трудового договора либо заключение гражданско-правового договора, фактически регулирующего трудовые отношения между работником и работодателем, -
влечет наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от десяти тысяч до двадцати тысяч рублей; на лиц, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, - от пяти тысяч до десяти тысяч рублей; на юридических лиц - от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.
А запиь в трудовую по истечении 1 недели обязательно вносится. Если только Вы не заходите сделать вид, что Вы там совсем не работали и з/п Вам не нужна. Но не уверена, что работодатель на это пойдет