Кто знает КЗоТ?Пример:Написала заявление на увольнение.Директор подписал с отработкой (почему то 10 дней).Через 4 дня

Отработки в ТК РФ нет, согласно ст. 80 ТК РФ работник должен письменно предупредить работодателя о своем желании уволиться не позднее чем за две недели, что вы и сделали подав заявление об увольнении. Работодатель имел права уволить вас во время больничного т. к. это увольнение по инициативе работника. Оснований для суда считаю что нет, вы же не собираетесь восстанавливаться на работе и продолжать трудиться там, а больничный вам будет оплачен даже если он закрыт после даты увольнения.
Единственное не совсем правильное действие, это то что срок предупреждения работодатель сократил до 10 дней, в одностороннем порядке он это делать не имеет права, т. е. тогда вы должны были написать под его резолюцией свое согласие, иначе работодатель лишает вас законного права на отзыв своего заявления на 4 дня. Но только из-за этого судиться считаю нецелесообразно.

всё в порядке. больного нельзя уволить по инициативе работодателя (ст. 81 ТК РФ) , а тут ваше собственное желание (ст. 80 ТК РФ) .
в течение 2 недель вы могли написать заявление: я передумала увольняться. дата подпись (ст. 80 ТК РФ)

КЗоТ - это уже из истории государства Российского. В наше время трудовые отношения регламентируются ТК (Трудовым Кодексом) РФ

В случае болезни Вам надо было не предупреждать работодателя, а отозвать заявление об увольнении. Для обращения в суд у Вас нет оснований, ведь уволили Вас согласно Вашего заявления. Если вы заболели до прекращения трудового договора, то больничный обязаны оплатить исходя из Вашего страхового стажа.
Пособие по временной нетрудоспособности при утрате трудоспособности вследствие заболевания или травмы выплачивается застрахованным лицам в размере 60 процентов среднего заработка в случае заболевания или травмы, наступивших в течение 30 календарных дней после прекращения работы по трудовому договору, служебной или иной деятельности, в течение которой они подлежат обязательному социальному страхованию.

Вы решили уволиться, написали заявление, - вас уволили. Больничный тоже не отказываются оплатить. Вам не с чем обращаться в суд.