Можно ли не выходить на работу пока не погасят задолженности по заработной плате?

Имеете право. По закону вы можете, если зарплату задержали более чем на 15 дней, то, согласно статье 142 Трудового кодекса, «работник имеет право, известив работодателя в письменной форме, приостановить работу на весь период до выплаты задержанной суммы» . В вашем случае зарплату задержали на месяц, то вы должны знать, что за каждый просроченный день выдачи з/платы работодатель обязан выплатить вам пеню в сумме не ниже 1/300 действующей в это время ставки рефинансирования (ст. 236 ТК РФ) .
Ваше право написать заявление и не ходить на работу до тех пор, пока не получите письменное уведомление о том, что работодатель готов выплатить зарплату в день вашего выхода на работу.
Более того, через суд вы можете востребовать оплату этих дней, т. к. ТК РФ не определяет время приостановления работы как вынужденный прогул, поэтому напрямую не говорит, как это время должно оплачиваться и оплачивается ли оно вообще. В связи с тем, что невыплата заработной платы – это обстоятельство, лишающее работника возможности трудиться (бесплатно, а следовательно, такой труд квалифицируется как принудительный, что недопустимо) , то наступает ответственность работодателя по статье 234 ТК РФ, предусматривающей сохранение за работником неполученного за этот период полного заработка.

в силу положений статьи 142 тк рф: в случае задержки выплаты заработной платы на срок более 15 дней работник имеет право, в письменно известив работодателя, приостановить работу на весь период до выплаты задержанной суммы. . приостановление работы освобождает работника от трудовых обязанностей, в том числе и на присутствие на рабочем месте..

в каком именно учреждении?

Теоретически, вы, конечно, имеете право. А практически, вы поставите себя под удар и будете уволены при первой же возможности. Выбирайте.

Если з/п не выплачивают свыше 15 дней, вы вправе сообщить работодателю в письменной форме о невыходе на работу.