Законно ли уволили?!

нет,

Смотря как "устроился". Мало информации. В любом случае незаконно, судя по той мини информации, что содержится в вопросе. Работать без трудового договора (и отстуствие приказа на оформление в штат) само по себе правонарушение (незаконный акт) со стороны работадателя.

А какое время он проработал? Вы что-то не договариваете.. Такого просто не бывает.. .
Полюбому школу можно порвать в клочья, если не частная.

если допустили до рабочего места, то считается что договор заключен, поэтому не имели право. А вот про граммотно дорогуша, возьмите ТК РФ. судебную практику в инете поищите. Задача и дается не для того, чтобы проверить знаете ли Вы ответ, а чтобы вы искали ответ и при этом перевернули кучу учебников, кодексов и иных НПА и тем самым проходили САМООБУЧЕНИЕ.

На мой взгляд неправа. Человек принят на работу и фактически приступил к работе. Принимать на работу нового сотрудника на место человека, который болен, нельзя. Обращайтесь в суд. Собирайте доказательную базу. Скорее всего суд встанет на Вашу защиту.

Если нет трудового договора - то правы .

Тут будет статьи 3 ТК РФ. Вот Вам наводки:
1. Приступил к исполнению обязанностей.
2. С разрешения руководства (даже подпись есть) . Трудовой договор считается заключенным.
3. В период болезни уволить работника нельзя.
Вывод: администрация не права.

Не юрист, но это вроде как даже незаконно.