Вопрос про отпуск без сохранения заработной платы

Да можно. Любое заявление сначала рассматривается и подписывается. Если подписи нет значит его никто не отпускал, значит прогул.

уточните, может человек заболел или того хуже.. .
уволить всегда успеете.

К сожалению: да. А вот кто предумал тянучку с подписью заявлению, на которую порой уходит целый день и более нужно придумать закон об административном наказании. В наш век -это должно занимать не более получаса.

если работодатель никак не подписал заявление работника, при желании он может уволить за прогул. Но зачем вообще?

Соответственно, если работник не указал основание предоставления отпуска предусмотренное ТК, в соответствии с которым, работнику отказать в таком отпуске не могут, а просто "по семейным обстоятельствам, в таком случае создавайте комиссию, пишите акт и увольняйте работника по статье.
Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы
По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

да, безусловно, если это заявление подписано не было, работодатель в праве его уволить.

Да, можете. Но лучше позвонить работнику и объяснив ситуацию - предложить по собственному. У каждого человека должен быть выбор...

У нас одного такого товарища уволили так за прогулы.

гоните такого работника

сперва уточните причины прогула. суд восстановит права работника на работе по уважит. причинам