Может ли попасть под сокращение мать несовершеннолетнего ребенка с диагнозом "бронхиальная астма"?

К сожалению на основании ст. 179 ТК РФ наличие тяжелого заболеваня у ребенка не дает родителям оснований для приоритетного оставления на работе.

да, наличие тяжелого заболевания не является основанием для преимущества перед другими

Может. При сокращении численности или штата работников преимущественное право на оставление на работе предоставляется работникам с более высокой производительностью труда и квалификацией.
При равной производительности труда и квалификации предпочтение в оставлении на работе отдается: семейным - при наличии двух или более иждивенцев (нетрудоспособных членов семьи, находящихся на полном содержании работника или получающих от него помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию) ; лицам, в семье которых нет других работников с самостоятельным заработком; работникам, получившим в период работы у данного работодателя трудовое увечье или профессиональное заболевание; инвалидам Великой Отечественной войны и инвалидам боевых действий по защите Отечества; работникам, повышающим свою квалификацию по направлению работодателя без отрыва от работы.

да, работодатель не собез..

еще как может... особенно если работает в частном секторе

При определении списка сотрудников подлежащих сокращению в первую очередь оценивается их квалификация, сокращению подлежат сотрудники с более низкой квалификацией, дополнительные основания для преимущественного права на оставление на работе рассматриваются только в том случае если на сокращаемой должности работают сотрудники с совершенно одинаковой квалификацией, в таком случае преимущество может дать наличие несовершеннолетнего ижидивенца (т. е. ребенка не имеющего иного кроме вашей зарплаты источника дохода) . наличие у ребенка заболевания к сожалению таким основанием не является.. .
Закон суров, но это закон...