Могут ли на испытатьльном сроке уволить по статье?

При не оконченном испытатнльном сроке, только так и могут уволить без Вашего желания.

Конечно, могут, если Вы ненадлежаще исполняете свои обязанности и нарушаете Правила внутреннего трудового распорядка.
Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня. Предупредите работодателя об увольнении за три дня и Вы свободны.

Конечно.

не проблема если есть основания

Не нужна ни чья подпись на Вашем заявлении об увольнении, достаточно зарегистрировать его у секретаря или отослать по почте заказным письмом и через 3 дня можете не выходить на работу, Вам обязаны выдать трудовую и расчет. А если попытаются уволить по статье, есть прокуратура и суд, объясните это заму, если не хотят неприятностей с государством, то уволят через 3 дня.

Добавлю, 3 календарных дня. Т. е. в четверг, например, подаете заявление, регистрируете его у секретаря и в понедельник можете не выходить на работу. (начало срока предупреждения - на следующий день после получения работодателем заявления) Кто там и что подпишет вас не должно волновать.

А увольняют всегда "по статье", то есть по основанию, предусмотренному соответствующей статьей закона. Ты увольнение по какому основанию имела ввиду?

Твоя задача не получить чью-то подпись, а известить работодателя об увольнении по собственному желанию. Если никто не хочет принимать твое заявление, то предупреди работодателя телеграммой с уведомлением о вручении. Через три дня после этого работодатель должен вручить тебе трудовую книжку и произвести с тобой расчет. Если тебе по прежнему будут грозить "статьей" объясни, что закон на твоей стороне, а вот тому, кто его нарушает как раз грозит реальная "статья". И не одна.

Заместитель, не имел права отказать Вам в подписании заявления на увольнения по собственному желанию, даже если он соберется уволить Вас по статье (за прогулы) , это будет незаконно, так как ранее Вы подали заявление по собственному желанию, а отказать в увольнении по собственному желанию работодатель не имеет права. Испытательный срок в данной ситуациии значения не имеет, главное чтобы были соблюдены сроки подачи заявления.