Имеет ли право кадровик оставлять запись в трудовой книжке, если работник не прошел испытательный срок?

Да имеет «Уволен в связи с неудовлетворительным результатом испытания, часть первая статьи 71 Трудового кодекса Российской Федерации» , не имеют права при приеме на работу делать запись об испытательном сроке.
Для того, чтобы сделать такую запись необходимо пройти все этапы обязательные для данного вида увольнения, ибо в любом другом случае такое увольнение легко оспариваемо.
Для проведения увольнения по данному основанию необходимо несколько условий:
Наличие в трудовом договоре работника условия об установлении испытания.
Срок испытания, установленный работнику не должен окончиться на момент увольнения.
Работник не должен относиться к категории работников, которым не может быть установлено испытание (ст. 70 ТК) .
Процедура увольнения состоит в следующем:
Необходимо наличие подтверждения того, что работник не отвечает требованиям работодателя, причины послужившие основанием для признания работника не выдержавшим испытание должны быть задокументированы. Это могут быть докладные записки непосредственного начальника работника о невыполнении последним своих обязанностей либо ненадлежащем качестве исполнения работником своих обязанностей, акты о невыполнении норм выработки. Существенным является то обстоятельство, что работник должен быть ознакомлен со своими обязанностями, установленными нормами выработки и т. п. Кроме того, целесообразно получить письменные объяснения работника о причинах невыполнения им своих обязанностей.
При наличии документов, указанных в п. 1, работодатель может принять решение об увольнении работника по ст. 71 ТК РФ – как не выдержавшего испытание. О предстоящем увольнении работника должен быть уведомлен в письменной форме не позднее, чем за три дня до увольнения. Если работник отказывается поставить подпись на уведомлении, его отказ необходимо зафиксировать составлением соответствующего акта. Решение работодателя о расторжении трудового договора с работником по ст. 71 ТК РФ оформляется изданием Приказа (распоряжения) по установленной форме.
Если все данные этапы не пройдены работник имеет полное право обратиться в трудовую инспекцию и суд для признания увольнения незаконным

Да, это право работодателя.

в силу положений статьи 66 тк рф: работодатель ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной; в трудовую книжку вносятся сведения о работнике, выполняемой им работе, переводах на другую постоянную работу и об увольнении работника, а также основания прекращения трудового договора и сведения о награждениях; по желанию работника сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству..

Если Вы отработали свыше 5 дней работодатель обязан сделать запись в вашей трудовой книжке о приёме на работу: должность на которую Вас приняли, квалификацию ( разряд ), номер приказа. При увольнении также производится запись в трудовой книжке о причине увольнения со ссылкой на статью ТК РФ. Согласно ст. 71 ТК РФ - результат испытания при приёме на работу, при неудовлетворительном испытании работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее 3 дней с указанием соответствующих причин. Решение работодателя работник имеет право обжаловать в суд.
Если в период испытания работник придёт к выводу, что данная работа ему не подходит, то имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя за 3 дня ( при испытательном сроке 3 дня, а не 14 ) в письменной форме.
В соответствии с ч. 4 ст. 77 ТК РФ - расторжение трудового договора по инициативе работодателя ( ст. 71 и ст. 81 ТК РФ ). Описание ст. 71 приведено выше.

Вы имеете в виду записи о приеме на работу и об увольнении? Да, имеет, если Вы проработали более 3-5 дней

Запись о приеме на работу в трудовой книжке делается ЧЕРЕЗ 5 дней после приема на работу независимо от того на испытательном сроке работник или нет.
Объясняю почему через пять дней. По трудовому законодательству у работника есть право аннулировать трудовой договор в течение первых трех дней работы. А если он его аннулирует, то спрашиывается какую запись вы будете вносить в трудовую в связи с прекращением? Вот поэтому в 225 постановлении ПРавительства и установлен четкий срок внесения записи о приеме.
Таким образом, если работник приступил к работе 1 ноября, то запись ему вносится 5 ноября о том, что тот 1 ноября принят на работу по профессии или в должности.
Удачи!!!

Суд, это риторическое действие. Обратите внимание, что работодатель вправе искать себе тот персонал, который способен не только хорошо работать, но и соответствовать представлениям работодателя о лояльности работников. Зачастую даже очень хороший специалист, не в состоянии работать по причине психофизических свойств личности. А это, поверьте, важнее. Лучше и спокойнее работать с лояльным персоналом, нежели с нервотрёпами.

Запись в трудовой книжке делается сразу после подписания трудового договора, приказа о приеме на работу и выхода на работу.