как уволиться без записи в трудовой о прогуле?

А сейчас трудовая и не нужна. "Теряйте" её и заводите новую.

Вам надо получить больничный лист и одновременно подать заявление на увольнение по собственному желанию (зарегистрировать его или отправить заказным письмом с уведомлением и с описью вложения) . Через две недели явиться на работу, попросить расчет, трудовую книжку. Объяснительную писать не надо. Работодатель в такой ситуации обязан выдать работнику трудовую книжку в последний день работы. У него просто не будет время для увольнения за прогулы.

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели.
Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

а что значит "фактически прекратились"? Вы заявление писали об увольнении? или просто ушли и не появляетесь?
покупать липовый больничный смысла нет-это уголовное дело. (помимо того что уволят за прогул) . попробуйте договориться чтоб Вас уволили по собственному желанию.
да и в конце концов трудовую можно "потерять". а на новом месте попросить завести новую.

попробуйте купить справку о болезни.... или если с работодателем хорошие отношения, то можно попробовать договориться, чтобы уволили по собственному желанию....

сходи в трудовую инспекцию и объясни ситуацию что простояла 2 часа в очереди в больнице так тебе талон и не достался проверенно на опыте