Можно ли заставить работодателя отпустить меня в отпуск? Пусть даже и за свой счёт?

Нельзя заставить, только по договоренности.
Попробуйте воспользоваться ст. 142 ТК РФ. Работодатель и (или) уполномоченные им в установленном порядке представители работодателя, допустившие задержку выплаты работникам заработной платы и другие нарушения оплаты труда, несут ответственность в соответствии с ТК РФ и иными федеральными законами (ч. 1 ст. 142 ТК РФ) .
Работник вправе, письменно уведомив работодателя, приостановить работу. Данное право возникает уже после 15-дневной задержки выплаты зарплаты (ч. 2 ст. 142 ТК РФ) . В период приостановления работы работник имеет право в свое рабочее время отсутствовать на рабочем месте.

Да

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.