Можно ли продлить отпуск по уходу за ребенком на год за свой счёт?

Это уже будет не отпуск по уходу за ребенком, а отпуск без сохранения зарплаты. Предоставляется только по согласованию с администрацией. Права требовать предоставления такого отпуска у вас нет.

К сожалению, Вы не указали свой социальный статус: мать – одиночка; мать воспитывающая ребенка-инвалида и пр. А это – важно!
Коллективным договором, как на то указывает ст. 263 Трудового кодекса РФ, могут устанавливаться ежегодные дополнительные отпуска без сохранения заработной платы
- одинокой матери, воспитывающей ребенка в возрасте до 14 лет;
- работнику, имеющему ребенка-инвалида в возрасте до 18 лет;
- работнику, имеющему двух или более детей в возрасте до 14 лет;
- отцу, воспитывающему ребенка в возрасте до 14 лет без матери.
Если коллективным договором не предусмотрена возможность такого отпуска, работники не вправе требовать его предоставления, ссылаясь на Трудовой кодекс РФ.
Другие условия предоставления такого отпуска:
- продолжительность - до 14 календарных дней;
- период использования - любое удобное для работника время;
- по письменному заявлению работника отпуск может быть присоединен к ежегодному оплачиваемому отпуску или использован отдельно (полностью либо по частям) ;
- перенос отпуска на следующий рабочий год не допускается;
- отпуск может быть предоставлен обоим родителям ребенка.
Также следует иметь в виду, что, согласно ст. 264 Трудового кодекса РФ гарантии и льготы, предоставляемые женщинам в связи с материнством (в том числе дополнительный отпуск) , распространяются на отцов, воспитывающих детей без матери, и на опекунов (попечителей) несовершеннолетних.

А может Вам перейти на неполный рабочий день с пропорциональной оплатой?

только по согласованию с работодателем и это будет не отпуск по уходу за ребенком, а отпуск без сохранения заработной платы