Может ли работодатель требовать два заявления:на приём и на увольнение без даты?

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.
т. о. если вы имеете доказательства выполнения трудовой функции у данного работодателя, и он не составил трудовой догвор в пистменной форме в установленный законом срок, налицо грубое нарушение ТК с его стороны.
требовать написания заявления на расторжение трудового договора без указания даты, вообще противозаконно, ибо это не предусмотрено ни одной статьёй ТК РФ.
кроме того, т. к. вы находитесь в положении, уволить вас можно только по одному основанию - ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем, при этом вы намного более защищены, чем при увольнении по собственному желанию, т. к. вам положена компенсация предусмотренная ТК РФ

Ничего не пишите. если уволит по инициативе работодателя, то можно обратиться в трудовую инспекцию, суд или прокуратуру. Беременную женщину можно уволить в случае ликвидации предприятия или прекращения деятельности индивидуального предпринимателя.

трудовая инспекция. . сначала туда...

1. ляж на сохранение и направь извещение работодателю из больници или сама, лучше по скорой
2. ни в коем случае не допускай нарушений и фиксируй все, что сделано за день
3. попробуй уйти в декрет досрочно по состоянию беременности там есть у докторов основания хорошо "попроси"
пока будешь лежать на "сохранении" полистай Трудовой Кодекс там много интересного про интересное положение написано

это не законно