Можно ли подать заявление об увольнении за 3 недели?

Можно и за 3 недели, в заяве пши дату с которой хочешь уволиться
а дату составления заявления можно и сегодняшнюю

Только чтобы случайно не "потеряли" заявление пиши в 2 экземплярах и регистрируй в канцелярии или отправь заказным письмом с уведомлением

То что начальник будет в отпуске ничего не меняет

ТК РФ позволяет Вам подать заявление на увольнение и за три недели. В заявлении указывайте действительную дату подачи заявления, на копии заявления получите входящий номер.

сегодняшним, работник предупреждает работодателя не позднее, чем за 2 недели - ранее можно, только укажите дату, с какой увольняетесь

Одно только непонятно - какое вам дело до начальника? Вы подаёте заявление с предупреждением о расторжении трудового договора за две недели до желаемой даты (часть первая ст. 80 ТК РФ) , после которой просто прекращаете работу, а вам отдают трудовую книжку и производят окончательны расчет (части третья и четвертая ст. 84.1. ТК РФ) . И незачем вам "плясать под дудку" начальника - вы, как работник, имеете свои обязанности и права, поэтому и воспользуйтесь ими.

Пишите "прошу уволить с такого то числа", а подписываете сегодняшней датой.

ТК РФ говорит по этому поводу - работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме НЕ ПОЗДНЕЕ, чем за две недели. То есть меньше нельзя, а больше, чем 2 недели - возможно.