Работник подал заявление об увольнении по собственному желанию 01.06.09г. Через 10 дней, данный работник написал

Законодательством установлено, что работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее, чем за две недели (течение указанного срока начинается на следующий день после подачи такого заявления) . В период течения срока предупреждения работник вправе в любое время отозвать свое заявление. Если ваш работодатель получил от вас письменное уведомление об отзыве первоначального заявления именно в указанный срок (две недели) , соответственно, увольнение в этом случае не производится (п. 3 ч. 1 ст. 77, ст. 80 Трудового кодекса РФ) . Однако Трудовой кодекс РФ предусматривает основание, когда такое увольнение возможно: если на место работника приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с законом не может быть отказано в заключении трудового договора. Возможно, именно по этому основанию работодатель не принял во внимание ваше заявление об отзыве заявления об увольнении по собственному желанию.

Неправ в том случае если работник в своем заявлении не указал дату увольнения 13 июня. И в том случае не прав ели нет письменного приглашения другого работника

Да прав, т. к. был принят переводом другой работник.
И пускай директор напишет свою резолюцию на заявлние что уволить 13.06.2009

Нет начальник не прав, работник имеет право отозвать своё заявление в течении 14 дней с момента написания.

В этой ситуации начальник прав, если действительно на место работника был приглашен другой работник, которому в соответствии с ТК не может быть отказано в заключении трудового договора (подп. "в" п. 22 Постановления Пленума ВС РФ от 17.03.2004г. ) и ст. 64 ТК.

неа не прав, есть в законе такая уловка что можно передумать. (правда по срокам не помню сколько дней 10 или 7)
просто у нас начальство беспределит особенно частники.