нужно ли отрабатывать 2 недели при увольнениии по собственному желанию?

Работник обязан предупредить работодателя об увольнении за две недели. По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

можно и не отрабатывать при согласовании с руководством

Нет. Все зависит от причин увольнения и Вашего и работодателя желаний.

Нет понятия "отрабатывать" в Трудвом кодексе РФ, есть понятие "срок предупреждения об увольнении", вот он и составляет 2 недели.
Но по соглашению с работодателем можете уволится и ранее истечения этого срока.

Нет никакой "отработки". Нужно предупредить работодателя об увольнени не менее, чем за 2 недели. Но этот срок может быть сокращен по разным причинам. Например, если работодатель согласен отпустить вас с миром хоть завтра - пожалуйста, можете уволиться завтра.
Или например если человек находится на испытательном сроке, то имеет право предупредить об увольнении всего за 3 дня.

Как работодатель решит (имеет право)!

ст. 80ТК по соглашению сторон можно не отрабатывать. Подача заявления об увольнении обязательно за 2 недели. А там как решите.

Срок предупреждения об увольнении по собственному желанию составляет 2 недели. По соглашению сторон он может быть другим. Если не удается достичь соглашения и не хотите отрабатывать, то можно взять больничный и написать заявление или написать заявление об увольнении находясь в отпуске. Но в любом случае окончательный расчет по заработной плате и документы, связанные с трудовой деятельностью вам будут выданы только через 2 недели.

По договоренности с руководством. Если договоренности достичь не удалось, то да.

Нет
А что?