должны ли мне предоставить отпуск в этом году, если я работаю с мая?

Отпуск предоставляется не за календарный год, а за рабочий.
Дело в том, что согласно ст. 122 ТК РФ право на предоставление ежегодного оплачиваемого отпуска за первый год работы наступает у работника по истечении 6 месяцев непрерывной работы в организации.
Иными словами, после 6 месяцев работы вы имеете право пойти в отпуск. Однако в соответствии со ст. 123 ТК РФ очередность предоставления отпусков определяется согласно графику отпусков в организации. Даже если вы приняты на работу после того, как график отпусков был утвержден, в него с вашим приемом на работу должны быть внесены изменения. При этом график отпусков обязателен как для работника, так и для работодателя.
Если вам будет предоставлен отпуск в этом году, то он будет предоставлен авансом за неполностью отработанный рабочий год. В случае вашего увольнения до окончания рабочего года за который был предоставлен отпуск авансом, с вас удержат излишне выплаченные суммы пропорционально отработанному времени (ст. 137 ТК РФ)

право на первый отпуск возникает у работника через пол года работы. следовательно, если вы работаете с 1 мая, то имеете право уйти в основной, оплачиваемый отпуск продолжительностью не менее 28 календарных дней, с 1 ноября, не зависимо от графика отпусков и мнения руководства.
а все предыдущие ответы, в лучшем случае, можно назвать некорректными.

нет, не должны

Если в графике отпусков есть, то должны предоставить через 6 месяцев работы.