Можно ли находясь на больничном подать заявление об уходе? Придётся ли отрабатывать 2 нед.?

Можно. Предупредить работодателя об увольнении работник может не только в период работы, но и в период нахождения в отпуске и в период временной нетрудоспособности.
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели.
Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Нет понятия отработки в ТК РФ.
Вы обязаны подать завление за 2 недели до даты увольнения.
С вами могут растаться хоть на следующий день.
Находясь на больничном, Вы можете подать заявление об уходе.

Заявление по собственному желанию подать можно. Даже отозвать его можно за 3 дня до наступления срока. По ТК РФ отработки нет. Есть срок предупреждения.

можно - отрабатывать необязательно - если у вас будет официальный документ - что вы болели

Можно, главное предупредить работодателя за 2 недели и не важно находясь на больничном или в отпуске. Если больничный закончится ранее 14 дней то оставшееся время придется отрабатывать.

нет-сначала заявление-потом болеть

Вы, согласно ст. 80 ТК РФ, должны предупредить работодателя о предстоящем увольнении за четырнадцать дней. А факт нахождения Вас на рабочем месте не играет никакой роли. Вы можете находиться на больничном, в отпуске, командировке, военных сборах и т. д. и т. п.

Можно. Две недели подлежащие отработки включаются во время проведенное на больничном.

Подать можно, но если работодатель не согласится уволить сразу, то 2 недели начнутся на следующий день после подачи заявления, и если больничный продлится меньше этих двух недель - то придется выходить и отрабатывать недостающие до двух недель дни. Т. е. если Вы подаете заявление 20 сентября (находясь на больничном) , то работодатель имет право Вас задержать по 5 октября, выходите с больничного 26 сентября, работаете и 5 октября Вас увольняют.