Имеет ли право работодатель убрать надбавку, не оповестив при этом работника, даже устно...

Поздновато увидал Ваш вопрос, но, попытаюсь ответить. Хоть, без конкретики это сложновато.
Дополнительное соглашение к трудовому договору работника является составной частью этого договора и, коль скоро, в этом дополнительном соглашении не оговорен срок его окончания, то такое соглашение является заключенным на неопределенный срок, также, как и основной трудовой договор. А, следовательно, и надбавка, оговоренная в доп. соглашении является одним из важнейших существенных условий трудового договора (ст. 57 ТК РФ) . Изменение же определенных сторонами условий трудового договора допускается только по соглашению сторон трудового договора (ст. 72 ТК РФ) .
Однако, хозяин – барин. Это я о работодателе.
Он может для оптимизации выполнения организацией уставных целей и задач перекраивать штатное расписание, в том числе и графики работы отдельных специалистов. В соответствие со статьей 74 Трудового кодекса РФ в случае, когда по причинам, связанным с изменением организационных или технологических условий труда (изменения в технике и технологии производства, структурная реорганизация производства, другие причины) , определенные сторонами условия трудового договора не могут быть сохранены, допускается их изменение по инициативе работодателя, за исключением изменения трудовой функции работника.
О предстоящих изменениях определенных сторонами условий трудового договора, а также о причинах, вызвавших необходимость таких изменений, работодатель обязан уведомить работника в письменной форме не позднее чем за два месяца.
Если работник не согласен работать в новых условиях, то работодатель обязан в письменной форме предложить ему другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу) , которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.
При отсутствии указанной работы или отказе работника от предложенной работы трудовой договор прекращается в соответствии с пунктом 7 части первой статьи 77 настоящего Кодекса.
При этом работнику в соответствие с ч. 3 ст. 178 Трудового кодекса РФ выплачивается пособие в размере двухнедельного среднего заработка.

Если не указано, на какой срок, то эта надбавка должна быть. Уведомлять необходимо письменно за 2 месяца по ТК РФ. Это в суде на ура решается в пользу работника