Обязательно ли отрабатывать 2 недели до увольнения?

Да, предупредить работодателя об увольнении за две недели - это обязанность работника.
Согласно ч. 1 ст. 80 ТК РФ работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели.
По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет (ч. 5 ст. 80 ТК РФ) .
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

Трудовым кодексом РФ установлен двухнедельный срок для предупреждения работодателя о предстоящем прекращении трудового договора (ч. 1 ст. 80 ТК РФ) .
В Трудовом кодексе РФ нет условия об обязательной двухнедельной отработке. Следовательно, работник может написать заявление об увольнении и весь срок предупреждения находиться в отпуске или болеть. Данный срок в этом случае не продлевается (письмо Роструда от 05.09.2006 N 1551-6).

По договоренности с руководством.

Нет, можете уйти на больничный или иначе выполнять свои трудовые обязанности. Можете уйти в отпуск с последующим увольнением, хотя заявление на отпуск дается за две недели.
Уйти сразу можно только как сказано выше "По договоренности с руководством".

Да