Обязательно ли отрабатывать две недели при увольнение?

Не отрабатывать, а за две недели УВЕДОМИТЬ!
ОБЯЗАТЕЛЬНО.

на больничный уйди

это решает работодатель

не обязательно с согласия работодателя

Нет.

нет. если хозяин захочет - отпустит сразу.

Н

Если к заявлению Вы предоставите работодателю веские доказательства того, что дальнейшая ваша работа невозможна (например, билет на поезд, самолёт и пр.), то работодатель обязан будет уволить Вас той датой, которая будет указана в заявлении.

Как договоришься. Возможно и в тот же день отпустят.

Предупредить об увольнении должен за 2 недели. Если работодатель не против, то могут уволить сразу.

В отдельных случаях работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника, (ч. 3 ст. 80 ТК РФ):
- в связи с зачислением работника в учебное заведение;
- в связи с выходом на пенсию;
- при установлении нарушений трудового права со стороны работодателя (например, задержка заработной платы, отказ в предоставлении отпуска). При этом данные нарушения должны быть официально зафиксированы инспекцией по труду, профсоюзом, комиссией по трудовым спорам или судом (пп. "б" п. 22 Постановления Пленума ВС РФ от 17.03.2004 N 2);
- других случаях.
Согласно ч. 2 ст. 80 ТК РФ по соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
Таким образом, можете написать в заявлении предпочтительную дату увольнения и причины такого увольнения. Переезд в другую местность в связи со сменой работы по своему смыслу уважительной причиной для применения ч. 3 ст. 80 ТК РФ не является, поэтому работодатель решает самостоятельно.
Без предупреждения можно уволиться по соглашению сторон (ст. 78 ТК РФ).

как решит работодатель

Да, но как ещё с работодателем договоришься