В каком случае центр занятости оплачивает курсы переподготовки или повышения квалификации, и что для этого нужно?

Для этого надо хотя бы стать на учёт в центр занятости, чтобы было понятно, что вы нуждаетесь в этих курсах. Так просто ЦЗ ничего не оплачивает.

Статья 23. Профессиональная подготовка, переподготовка и повышение квалификации безработных граждан
(в ред. Федерального закона от 10.01.2003 N 8-ФЗ)

1. Профессиональная подготовка, переподготовка и повышение квалификации безработных граждан могут осуществляться по направлению органов службы занятости, если:
(в ред. Федерального закона от 10.01.2003 N 8-ФЗ)
гражданин не имеет профессии (специальности) ;
(абзац введен Федеральным законом от 10.01.2003 N 8-ФЗ)
невозможно подобрать подходящую работу из-за отсутствия у гражданина необходимой профессиональной квалификации;
необходимо изменить профессию (специальность, род занятий) в связи с отсутствием работы, отвечающей имеющимся у гражданина профессиональным навыкам;
гражданином утрачена способность к выполнению работы по прежней профессии (специальности) .
2. Профессиональная подготовка, переподготовка и повышение квалификации безработных граждан осуществляются в образовательных учреждениях профессионального и дополнительного образования, учебных центрах органов службы занятости или иных образовательных учреждениях, образовательных подразделениях организаций или в иных учебных заведениях в соответствии с заключаемыми органами службы занятости договорами.
(в ред. Федерального закона от 10.01.2003 N 8-ФЗ)
3. Право в приоритетном порядке пройти профессиональную подготовку, переподготовку и повышение квалификации имеют безработные инвалиды, безработные граждане по истечении шестимесячного периода безработицы, граждане, уволенные с военной службы, жены (мужья) военнослужащих и граждан, уволенных с военной службы, выпускники общеобразовательных учреждений, а также граждане, впервые ищущие работу (ранее не работавшие) и при этом не имеющие профессии (специальности) .
(в ред. Федеральных законов от 17.07.1999 N 175-ФЗ, от 10.01.2003 N 8-ФЗ)
4. Органы образования по запросу органов службы занятости представляют им информацию о профессионально-квалификационной структуре выпуска и численности выпускников, нуждающихся в трудоустройстве.

оплачивают в том случае, если требуется специалист, а нету...