Руководитель отказывается предоставить мотивированный отказ в предоставлении одного дня в счет отпуска.

Трудовой Кодекс.
Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы
По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению МОЖЕТ быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Как видите, Ваша ситуация не обязывает руководителя предоставить Вам отпуск.
А если живёте Вы с ним неважно, то он только рад подстроить Вам свинью на законных основаниях. Увы.. .
P.S. Единственный выход в данной ситуации - взять (или купить) больничный на нужное Вам время.. .

Здесь возможна помощь трудовой инспекции. Все равно Вам терять уже нечего, при таких взаимоотношениях.
Иногда достаточно одного звонка трудового инспектора, что бы работодатель исполнил закон.

Попросите день без сохранения заработной платы по семейным обстоятельствам.

А вы идете в отпуск по графику?
если нет, то руководитель не должен ничем мотивировать свой отказ.

работодатель на свое усмотрение может давать дни в счет отпуска (или не давать) , а обязан только согласно графика отпусков

Он и не обязан.