работала по трудовому договору 5.5 месяцев, Договор не продлили, а расторгли и заключили новый. Могу ли взять отпуск?

Но Вы же работаете по новому трудовому договору, значить начали трудовую деятельность, на этом предприятии, с нуля, то есть на отпуск еще не наработали.
По этой ситуации, Вам надо обращаться в трудовую инспекцию, здесь прямое нарушение трудового кодекса.

За три дня уведомили под роспись о прекращении? ? Новый по той же должности?
Через суд признай его заключенным на неопределенный срок

А у вас до сих пор не возникло вопроса - почему с вами уже ВТОРИЧНО заключают СРОЧНЫЙ трудовой договор, если из вашего вопроса следует, что это так, ведь неясно, какой ТД заключили вновь - срочный или бессрочный? И какие есть основания для срочного ТД? Они указаны в ст. 59 ТК РФ и перечень их исчерпывающий. И почему (по вашим словам) расторгли срочный ТД - истёк срок его действия (часть первая ст. 79 ТК РФ) или по другим причинам? Так что вам бы сейчас не об отпуске бы тревожиться, а о вопросе, куда более важном для вас - перспективе вашей трудовой деятельности вообще. А то, чего доброго, и новый ТД расторгнут. Уже без заключения очередного нового.

в силу положений статьи 122 тк рф: оплачиваемый отпуск должен предоставляться работнику ежегодно; право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя; по соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев. .
замечу, что правомерность "расторжения и заключения нового трудового договора" вы вправе оспорить ..

Отпуск взять не можете. При увольнении по первому договору Вам должны были выплатить компенсацию за неиспользованный отпуск. При новом ТД право на отпуск наступит через 6 месяцев.

за каждый месяц расчитывается 2,3 дня отпуска - вот считайте сколько положено! Хотя надо было заявление конечно писать! о предоставлении очередного оплачиваемого отпуска