Обязана ли администрация предоставить другую работу специалисту(ИТР), женщине, имеющей ребенка до 14 лет,

Перевод на другую работу по инициативе работника возможен только с согласия работодателя. Если договоренность не будет достигнута, вы будете уволены по п. 3 ч. 1 ст. 77 ТК РФ (собственное желание) .
Что касается формулировки " в связи с необходимостью осуществления ухода за ребенком в возрасте до 14 лет " вполне допустима. Однако не дает вам безусловного права на увольнение в любой день, если не будет медицинского подтверждения того, что ребенок действительно нуждается в уходе. Ранее такая формулировка играла роль при исчислении непрерывного стажа для назначения различных пособий, так как существовали Правила исчисления непрерывного трудового стажа рабочих и служащих при назначении пособий по государственному социальному страхованию от 13.04.1973 N 252 (с изм. от 02.03.2006). Но на сегодняшний день данный нормативный документ утратил силу. С 2007 года непрерывный стаж утратил юридическое значение. Сейчас учитывается страховой стаж - суммарная продолжительность периодов работы и иной деятельности, в течение которых уплачивались страховые взносы в ПФР.

не обязана. Пишите заявление на перевод, но не факт, что в другом филиале есть вакансии

Не обязана, только по согласованию с работодателем.

нет. это же не рабочее место меняется, а место жительства. только если у работодателя есть такая возможность и желание.

Начните с заявления работодателю о переводе в другое подразделение. В случае отказа-увольнение по собственному желанию.