Можно ли сократить одинокую мать 10 летнего ребенка?

Не-не реально. . Не советую.. И в законодат-ве тож нет..

Не могут, если женщина действительно имеет статус матери-одиночки, а то часто разведённая женщина считает себя матерью-одиночкой.

одинокой матерью можно назвать:
- женщину, которая родила ребенка не в браке ( и не в течение 300 дней после расторжения брака), если
отцовство ребенка не установлено надлежащим образом (в добровольном или судебном порядке) .
- женщину, родившую ребенка не в браке, но вступившую в брак, если ребенок не был усыновлен
(удочерен) ее супругом.
- женщину, которая родила ребенка в браке или в течение 300 дней после расторжения брака, если отцом записан супруг (бывший супруг) , но отцовство оспорено и есть вступившее в законную силу решение суда о том, что супруг ( бывший супруг) не является отцом ребенка.
- женщину, которая не находясь в браке, усыновила (удочерила) ребенка

Таким образом, одинокая мать- это женщина, которая воспитывает и содержит ребенка одна, без "юридического" отца. В случае вступления этой женщины в брак статус одинокой матери за ней сохраняется, если ее ребенок не был усыновлен новым супругом.
Под категорию одиноких матерей не подпадают разведенные женщины, которые имеют детей, рожденных в законном браке, поскольку даже после развода бывшие супруги в соответствии с семейным законодательством обязаны содержать детей. Не являются одинокими матерями и вдовы, т. к. в соответствии с пенсионным законодательством дети умершего кормильца имеют право на получение пенсии по потери кормильца"

Документы для подтверждения - справка из соцотдела или ЗАГСа или "Личная книжка одинокой матери". Свидетельство о рождении ребенка не является доказательством статуса одинокой матери.

Почитайте.
http://www.7ya.ru/pub/article.aspx?id=2875
Закон на Вашей стороне.
http://www.2mm.ru/yurist/226
Ваши права.

Статья 261 ТК
Расторжение трудового договора с женщинами, имеющими детей в возрасте до трех лет, одинокими матерями, воспитывающими ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида до восемнадцати лет) , другими лицами, воспитывающими указанных детей без матери, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса) .

действительно именно по сокращению увольнение не допускается.

нет

нет (ст 59 ТК РФ)
это уже подсудное дело.
ни беременных
ни одиноких матерей
сокращать нельзя

Нет, только когда ребенку исполнится 14 лет. (хотя мне лично непонятно почему)