очень прошу помочь.

Если последний день срока приходится на нерабочий день, то днем окончания срока считается ближайший следующий за ним рабочий день. (ст. 14 ТК РФ)
Т. к. 1 июня - суббота и нерабочий день, то днем увольнения, согласно ТК РФ, будет 3 июня - ближайший, следующий за ним рабочий день. По моему, всё правильно вы пришли, сегодня у вас последний рабочий день и в этот день вам обязаны выдать трудовую книжку и окончательный расчет. Позвноните в труд. инспекцию и уточните этот момент.

Кадровики не правы, Вы обязаны предупредить работодателя о своем увольнении за две недели, ни какой отработки двух недель не требуется. В течении срока Вы можете находиться в отпуске или на больничном. Требуйте проведения с Вами полного расчета и выдачи трудовой книжки. Если руководство не идет на встречу обращайтесь в инспекцию труда.

больничный входит в две недели. если вы заявление не отозвали, то оно имеет силу

должны уволить последним днем больничного! иди те опять к директору! не имеет значение, когда вы пришли, они должны были все сделать (запись в ТК, расчет, приказ 1-го числа!)

"С 1 числа" так нельзя писать, вам на будушее. "Прошу уволить по собственному желанию 01 июня 2013 года"
Заявление в 2-х экземплярах, один себе, обязательно с ЧИСЛОМ приема и подписью принимающего сотрудника.

не надо раньше, надо в день указанный в Заявлении, если это выходной, в первый рабочий (это нормы ТК РФ) Просите заверенную копию вашего заявления об уходе. Скажите я не девочка тут к вам бегать и писать 20 заявлений, не уволите, я в гос. инспекцию по труду пойду и даже если они ваше заявление выкинули (а второго у вас нет экземпляра) то доказать что вы его писали не возможно... а вот устроить проверку им возможно и всрят ли их эта перспектива обрадует.
или зайдите к ним с юристом, пусть он с ними минут 5 беседы побеседует... ) заплатите... ему.. ваша проблема, дело 5 ти минутной беседы с вашим отделом кадров.