Если я беру два выходных дня 20 и 23 за свой счёт, получается 4 дня отпуска с выходными? и ещё

Работодатель отчасти прав. Любой отпуск предоставляется в календарных днях. В вашем случае выходные дни входят в счет отпуска без сохранения з/платы=4 дня. Согласно ст. 121 ТК РФ отпуска без сохранения з/платы за рабочий год суммируются и рабочий период, дающий право на отпуск, сдвигается на количество дней, превышающее 14 дней. Т. е. основной отпуск не может быть меньше 28 к/дней, а только сдвигается рабочий год. Но если у вас есть дополнительный отпуск за особые условия труда, то он предоставляется пропорционально отработанному в данных условиях времени и его продолжительность зависит от количества дней проведенных на б/л, в отпуске и пр.
Если вы хотите использовать 2 дня отпуска без сохранения з/платы, то нужно написать 2 заявления: на 20-е и на 23-е.

1) Получается 2 дня отпуска + 2 дня выходных.
2) Только если суммарное количество отпуска без сохранения заработной платы более 15 дней. тогда эти дни не входят в расчет средней заработной платы.

Если вы берете 2 дня за свой счет при чем здесь ваш отпуск и отпускные. Или вы берете 2 дня в счет отпуска без оплаты, уточните вопрос. Отпуск за свой счет на продолжительность и оплату ежегодного отпуска не влияет.

Если вы берете за свой счет, то это не отпуск, дни не оплачиваются. Если берете в счет отпуска, то определитесь вам нужно 2 или 4 дня. И соответственно, эти дни уменьшат ваш отпуск (из 28 дней) на то количество дней которое вы возьмете.