Можно ли выслать трудовую книжку работнику на следующий день после увольнения?

в смысле - выслать? По почте только по письменному заявлению работника, тогда, как поступило заявление, тогда и высылаете. По ТК трудкнижку должны выдать работнику в день увольнения, соответственно, если работника не было в этот день, желательно подстраховаться и вечером отправить письмо с требованием прийти и получить трудкнижку

Можно, если есть от него письменное волеизъявление. Если нет, то не имеете права. Тут уже вам нужно отправить письмо (с уведомлением о получении ) с просьбой явиться в ОК за трудовой книжкой. А в этом случае, чем быстрее, тем лучше)

можно даже позже.

с его письменного согласия

Правила
ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей
(утв. постановлением Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. N 225)
С изменениями и дополнениями от:
6 февраля 2004 г. , 1 марта, 19 мая 2008 г.
IV. Выдача трудовой книжки при увольнении
(прекращении трудового договора)
35. При увольнении работника (прекращении трудового договора) все записи, внесенные в его трудовую книжку за время работы у данного работодателя, заверяются подписью работодателя или лица, ответственного за ведение трудовых книжек, печатью работодателя и подписью самого работника (за исключением случаев, указанных в пункте 36 настоящих Правил) .
Если трудовая книжка заполнялась на государственном языке Российской Федерации и на государственном языке республики в составе Российской Федерации, заверяются оба текста.

Работодатель обязан выдать работнику в день увольнения (последний день работы) его трудовую книжку с внесенной в нее записью об увольнении.

При задержке выдачи работнику трудовой книжки по вине работодателя, внесении в трудовую книжку неправильной или не соответствующей федеральному закону формулировки причины увольнения работника работодатель обязан возместить работнику не полученный им за все время задержки заработок. Днем увольнения (прекращения трудового договора) в этом случае считается день выдачи трудовой книжки. О новом дне увольнения работника (прекращении трудового договора) издается приказ (распоряжение) работодателя, а также вносится запись в трудовую книжку. Ранее внесенная запись о дне увольнения признается недействительной в порядке, установленном настоящими Правилами.

36. В случае если в день увольнения работника (прекращения трудового договора) выдать трудовую книжку невозможно в связи с отсутствием работника либо его отказом от получения трудовой книжки на руки, работодатель направляет работнику уведомление о необходимости явиться за трудовой книжкой либо дать согласие на отправление ее по почте. Пересылка трудовой книжки почтой по указанному работником адресу допускается только с его согласия.

Со дня направления указанного уведомления работодатель освобождается от ответственности за задержку выдачи работнику трудовой книжки.

37. В случае смерти работника трудовая книжка после внесения в нее соответствующей записи о прекращении трудового договора выдается на руки одному из его родственников под расписку или высылается по почте по письменному заявлению одного из родственников.
Выслать по почте можно только по письменному согласию работника. См. текст ответа