Подскажите, делается ли отчисление в ПФ (кроме НДФЛ 13%) с Договора подряда?

Конечно, идут, иначе бы все так работали. 13% НДФЛ идёт в бюджет, их удерживают из вашего дохода. А социальные взносы в ПФ с выплат физическому лицу платит заказчик из собственных средств. Поэтому они не должны суммироваться.

Что за проблемы?
С сумм вознаграждений, выплачиваемых по ДГПХ оказания услуг (выполнения работ), страховые взносы в ПФ и ФФОМС исчисляются в обычном порядке и оплачиваются Заказчиком из своих средств.
Страховые взносы в ФСС не начисляются в соответствии с пп. 2 п. 3 212-ФЗ.
Что касается страховых взносов в ФСС, то согласно п. 1 ст. 5 125-ФЗ они уплачиваются, только если это предусмотрено договором.
Если под ДГПХ "скрывается" трудовой договор, т.е. он имеет признаки трудового договора, тогда есть опасность признания ДГПХ трудовым и доначисления стр.взносов.
Налоговые органы очень часто пытаются переквалифицировать договора ГПХ в трудовые даже на том основании, что одними и теми же работниками выполняются одни и те же работы с определённой периодичностью. А после "переквалификации" придётся заплатить штрафы за уклонение от уплаты налогов.
Во избежание переквалифицирования договора нужно избегать признаков трудового договора в ДГПХ - указание в договоре трудовой функции, режима труда и других правил внутреннего трудового распорядка.

Это даже хорошо! Гарантированно этот период работы войдет в стаж для начисления будущей пенсии!

Если физ лицо выступает исполнителем, то налоги и сборы начисляются только на сумму дохода а не на всю сумму, а на сумму затрат на материалы не начисляются налоги и сборы, но они должны быть подтверждены.

Все правильно, Вы заключаете договор с бюджетным учреждением, а оно обязано оплатить не только Ваш труд, но и отчисления в ПФ. В договоре у Вас прописана общая сумма которая включает в себя: зарплату+НДФЛ+ПФ+ФФОМС+ФСС.

Только 13%