Можно ли подать в суд на признание договора подряда, трудовым договором?

Можете. Лицо, предлагающее свой труд, всегда имеет возможность попытаться признать в судебном порядке наличие трудовых отношений с потребителем труда на основании ст. 11 ТК РФ.
По гражданско-правовому договору, в отличие от трудового договора, исполняется конкретное задание (поручение, заказ) . Предметом такого договора (первый признак) служит конечный результат труда (построенное здание, доставленный груз, подготовленный бухгалтерский отчет и пр.) . Вторым признаком трудового договора считается прием на работу по личному заявлению, издание приказа работодателя, в котором указываются профессия или должность, размер заработной платы, дата начала работы и пр. , а также внесение записи о работе в трудовую книжку. Третьим признаком, разграничивающим исследуемые договоры, являются порядок и форма оплаты труда. В соответствии с трудовым законодательством при оплате труда обычно применяются тарифные ставки и оклады и заработная плата должна выплачиваться регулярно. По гражданско-правовым договорам цена выполненной работы (услуги) определяется свободным соглашением сторон (произвольно) , а выплата вознаграждения обычно производится после окончания работ и единовременно. Наконец, еще одним характерным признаком трудового договора служит установление для работающих четких правил внутреннего трудового распорядка и обеспечение работодателем предусмотренных законодательством условий труда (предоставление времени для отдыха, обеспечение безопасности труда и пр.) . Работающие по гражданско-правовым договорам самостоятельно определяют приемы и способы выполнения заказа. Для них важен конечный результат труда - исполнение заказа в надлежащем качестве и в согласованный срок.
Руководствуясь судебной практикой, можно утверждать, что название договора не имеет принципиального значения. Исходя из смысла ст. 431 ГК РФ, буквальное значение условий договора в случае его неясности устанавливается путем сопоставления с другими условиями и смыслом договора в целом. Наименование договора не может служить достаточным основанием для причисления его к трудовому или гражданско-правовому договору, здесь основное значение имеет смысл договора, его содержание.

Вы что-то путаете. У вас первоначально была не заработная плата, а оплата выполненых работ. Вы не являлись сотрудником, вас наняли на определённое количество времени для выполнения определённой работы.

Просто потеряете время. Вы получали оплату на основании акта выполненных работ, штатным сотрудником не являлись, следовательно трудовой договор с вами не заключали. Отпускные вам не положены. А договор подряда с работодателем нужно заключать не после завершения работ, а до начала работ, тогда не возникнет ситуации при которой вы получили не 15 а 13 тысяч рублей. В суде работодатель может сказать, что выплатил вам остаточную сумму по договору-подряда, которая составила 13000 рублей и будет прав.

Почитайте свой договор (а лучше пкажите специалистам) , если в нем есть признаки трудового договора, то можно попытаться через суд признать договор трудовым со всеми вытекающими правами и обязанностями работодателя.

Сначала сравните условия договора подряда со статьей 57 Трудового Кодекса (хотя бы по формальным признакам) . В случае наличия хотя бы одного слова -заработная плата, начало и окончания работ и т. д. , то шансы победы в суде увеличиваются.