Могут уволить с частной организации не по статье а так, просто. По прихоти начальства? Как защитить свои права?

На ваш вопрос можно ответить так. Если работаете по трудовому договору (ТД) , то увольнение всегда будет по соответствующей статье ТК РФ. А будет ли это собственное желание, инициатива работодателя или третья причина - другой вопрос. А если работаете просто так, "по понятиям", без ТД, то и увольнение тоже будет "по понятиям", по прихоти начальства и т. п. В этих случаях, как правило, отделываются избитой фразой, пришедшей с дикого запада "Мы в ваших услугах не нуждаемся", либо еще короче "Вы уволены". Защитить свои права вы, безусловно можете (Гострудинспекция, суд) , только зачем вам это? Ведь трещина между вами и работодателем уже создалась, и склеивать её бессмысленно. Нормальной работы в этой организации у вас уже не будет.

договор есть? Не писать по собственному

Могут предложить, но если ты попрёшь против, то можно будет и статью схлопотать в трудовой. И как правило, свидетелями в суд ваши коллеги не пойдут, так что бодаться придется самому, против хорошего юриста или адвоката.

....заключением договора

Зря "бычишься". Не хочешь по собственному желанию - постараются уволить по статье, а это клеймо на всю жизнь. И последующие судебные разбирательства. Посвятить этому время? И в конце чего добиться? Восстановления? С сокращением этой должности на следующий день?
И ещё. Поставь себя на место начальника и если тебе не нравится сотрудник.