могу ли я взять на работе неоплачиваемый отпуск, отработав менее полугода?

Неоплачиваемый отпуск предоставляется на основании и в порядке предусмотренном ст. 128 ТК РФ ( разъяснения по порядку использования указанной статьи см. разъяснение Минтруда РФ от 27 июня 1996 г. N 6, утвержденное Постановлением Минтруда РФ от 27 июня 1996 г. N 40).

вы можете попросить отпуск без сохранения зарплаты, работодатель, если сочтет вашу причину достаточно уважительной, то отпуск этот вам предоставит. решит, что причина не уважительна - откажет, имеет на это полное право. в ст. 128 ТК РФ четко сказано, кому и при каких обстоятельствах работодатель обязан отпуск за свой счет предоставить, то, что в этот перечень не входит - на усмотрение работодателя.
еще вы можете попробовать купить больничный, потому как официально "заболеть" и при этом две недели не посещать врача вряд ли получится. так, что если договорится с работодателем или найти больничный лист не получится, значит придется выбирать либо увольняться, либо отказаться от поездки.

Взять то можете, но рабовладелец НЕ ОБЯЗАН давать..

напиши по семейным обстоятельствам

Можете с согласия работодателя.

можно воспользоваться старым проверенным способом и взять больничный. но для этого нужна определенная сноровка

Прямая дорога к начальству. Если нормальный начальник и подход ваш будет правильным - даст возможность. К тому же он неоплачиваемый. Только про заграницу не говорите, а то это не уважительная причина.
Обратите внимание на ст. 128 ТК РФ. Отпуск без сохранения заработной платы.
По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы.