Можно ли оформить трудоустройство без трудового договора?

Помимо договора он должен был ознакомить Вас с правилами внутреннего трудового распорядка, коллективным договором, Уставом и другими внутренними документами, которые относятся к Вашей специфики. Трудового договора может и не быть, если вы фактически приступили к трудовым обязанностям, то он уже считается заключенным. Однако однозначно должен быть Приказ с которым вы должны были ознакомиться и поставить Вашу подпись. так же однозначно должна быть запись в трудовой книжке, основание Приказ о приеме на работу.

В крупных организациях как правило Договор существует коллективный.
Вам должны представить на подпись Приказ №... от ...2015 года
о приёме Вас на работу в должности ...с ( указывается форма оплаты ).
Это копия для того чтобы Вы смогли ознакомиться и подписать его.

Когда вы начали работать? Сегодня? Исходя из порядка оформления документов в этой организации, трудовой договор вполне может только готовиться, что бывает довольно часто.
По закону, трудового договор должен быть заключен в течение 3-х рабочих дней со дня фактического допущения к работе, на его основании издается приказ о приеме на работе, заявление на прием не обязательно, но у многих работодателей принято его писать.
Через несколько дней после приема на работу просто подойдите в отдел кадров и уточните, когда можно будет придти подписать документы, если организация "белая", то скажут.

что-то тут нечисто

Прием заявления от работника.
Заключение с работником трудового договора и договора о полной материальной ответственности.
Регистрация трудового договора.
Вручение работнику экземпляра трудового договора.
Издание приказа о приеме на работу.
Регистрация приказа о приеме на работу.
Ознакомление работника с приказом о приеме на работу.
Ознакомление работника с локальными актами работодателя, должностной инструкцией.
Внесение записи о приеме на работу в трудовую книжку работника.
Оформление личного дела работника.
Статья . Предмет трудового договора
По трудовому договору работник выполняет работу (трудовую функцию) по соответствующей квалификации за вознаграждение и соблюдает трудовой распорядок, а работодатель обеспечивает условия труда, своевременно и в полном объеме выплачивает работнику заработную плату и осуществляет иные выплаты, предусмотренные трудовым законодательством Республики Казахстан, трудовым, коллективным договорами, соглашением сторон.