В каких случаях работник может не уведомлять работодателя за 2 недели.

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника. (ст. 80 ТК РФ)
То, что вы заключили какой-то контракт и переезжаете в другой регион не освобождает вас от обязанности предупредить нынешнего работодателя о своем желании расторгнуть трудовой договор не позднее, чем за 2 недели до даты увольнения.

В случае увольнения без уважительных причин до истечения срока, обусловленного трудовым договором или соглашением об обучении за счет средств работодателя, работник обязан возместить затраты, понесенные работодателем на его обучение, исчисленные пропорционально фактически не отработанному после окончания обучения времени, если иное не предусмотрено трудовым договором или соглашением об обучении. (ст. 249 ТК РФ) Т. е. если в вашем трудовом договоре или доп. соглашении сказано, что после обучения вы обязаны сколько-то отработать, а вы решили уволится раньше, то удержание средств, потраченных на ваше обучение, правомерно.

уведомил за 2 недели - и на больничный на 2 недели. как все культурные люди.

Если в ученическом договоре прописано то, что вычитают деньги, то всё правомерно.