Могу ли я по своей инициативе написать заявление, чтобы мне вписали благодарность в Трудовую Книжку?

Да не пишут они. Не принято! Обосрать трудовую - принято, а благодарность - нет!

А она (благодарность) Вам выносилась?

Статья 66. Трудовая книжка
Трудовая книжка установленного образца является основным документом о трудовой деятельности и трудовом стаже работника.
В трудовую книжку вносятся сведения о работнике, выполняемой им работе, переводах на другую постоянную работу и об увольнении работника, а также основания прекращения трудового договора и сведения о награждениях за успехи в работе. Сведения о взысканиях в трудовую книжку не вносятся, за исключением случаев, когда дисциплинарным взысканием является увольнение.
Правила ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей
(утв. постановлением Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. N 225)
... 24. В трудовую книжку вносятся следующие сведения о награждении (поощрении) за трудовые заслуги:
а) о награждении государственными наградами, в том числе о присвоении государственных почетных званий, на основании соответствующих указов и иных решений;
б) о награждении почетными грамотами, присвоении званий и награждении нагрудными знаками, значками, дипломами, почетными грамотами, производимом работодателями;
в) о других видах поощрения, предусмотренных законодательством Российской Федерации, а также коллективными договорами, правилами внутреннего трудового распорядка, уставами и положениями о дисциплине.
25. Записи о премиях, предусмотренных системой оплаты труда или выплачиваемых на регулярной основе, в трудовые книжки не вносятся.
Записи о поощрении являются обязанностью работодателя. Можете обратиться за помощью в Федеральную инспекцию труда, прокуратуру. Но вопросы надо задавать покорректней, а то можно подумать, что Вы сами себя решили наградить.

Если у Вас есть грамота или благодарственное письмо, то их реквизиты и так должны быть внесены в трудовую книгу. А если Вам не выносилась благодарность, то как Вы можете решать заслужили или нет? Все на усмотрение начальства, наградить или ну его