как доказать что работодателем был причинён моральный ущерб здоровью работника?

Причинение морального вреда работнику ДОКАЗЫВАТЬ НЕ НАДО
Надо доказать нарушение трудовых прав

ЛЮБЫМ нарушением трудового законодательства работодатель причиняет МОРАЛЬНЫЙ ВРЕД работнику

Надо доказать факт нарушения трудового законодательства в отношении работника - и это и будет доказательство причинения морального вреда
Не выдал документы, связанные в работой? (нарушил ст 62 тк рф) - плати за причинение морального вреда
Не выдал полный расчет в последний день работы (нарушил ст 140 тк рф)? - плати за причинение морального вреда

Достоинство работника является его нематериальным благом, поэтому посягательство на него причиняет моральный вред. Установление в трудовом праве принципа запрета дискриминации (ст. 2 и 3 ТК РФ) направлено на защиту чести и достоинства работников.
ЛЮБОЕ НАРУШЕНИЕ нарушение работодателем этого принципа приводит к унижению достоинства работника, поэтому в ч. 4 ст. 3 ТК РФ прямо говорится: лица, считающие, что они подверглись дискриминации в сфере труда, вправе обратиться в суд с заявлением о восстановлении нарушенных прав, возмещении материального вреда и компенсации морального вреда.

ДОКАЗЫВАЕТЕ нарушение своих трудовых прав - ТРЕБУЕТЕ компенсацию причиненного морального вреда

Так в суде и говорите:
работодатель нарушил мое право на получение полного расчета в последний день работы - Не выдал полный расчет в последний день работы (нарушил ст 140 тк рф)
И ЭТИМ ПРИЧИНИЛ МНЕ НРАВСТВЕННЫЕ СТРАДАНИЯ
МОИ нравственные страдания Я оцениваю в 100 тыс рублей

Прошу суд взыскать с ответчика - ООО Козла вонючего в мою пользу компенсацию причиненного морального вреда в размере 100 тысяч рублей

Моральный ущерб здоровью - это как?

документально: справки от врача, доказательства причинения вреда именно работодателем (свидетельские показания, документы и т. п.). Если суд решит, что имело место не оскорбление, а констатация факта - судебные издержки за счет ущербного работника.

надо либо иметь диагноз: профзаболевание (а это практически невозможно), либо производственную травму, в которой виноват работодатель. ТОгда вред здоровью будет связан с работой. Ущерб здоровью относится к моральному.