в каком случае работодатель может поставить вопрос о непригодности работника к работе?

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя
Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:
3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;
8) совершения работником, выполняющим воспитательные функции, аморального проступка, несовместимого с продолжением данной работы;
11) представления работником работодателю подложных документов при заключении трудового договора;...
НО ИНОГДА ЭТО НЕ ЗАВИСИТ ОТ ВОЛИ РАБОТОДАТЕЛЯ. Например- СМЕРТЬ...
Статья 83. Прекращение трудового договора по обстоятельствам, не зависящим от воли сторон
Трудовой договор подлежит прекращению по следующим обстоятельствам, не зависящим от воли сторон:
1) призыв работника на военную службу или направление его на заменяющую ее альтернативную гражданскую службу;
2) восстановление на работе работника, ранее выполнявшего эту работу, по решению государственной инспекции труда или суда;
3) неизбрание на должность;
4) осуждение работника к наказанию, исключающему продолжение прежней работы, в соответствии с приговором суда, вступившим в законную силу;
5) признание работника полностью неспособным к трудовой деятельности в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации;
6) смерть работника либо работодателя - физического лица, а также признание судом работника либо работодателя - физического лица умершим или безвестно отсутствующим;
7) наступление чрезвычайных обстоятельств, препятствующих продолжению трудовых отношений (военные действия, катастрофа, стихийное бедствие, крупная авария, эпидемия и другие чрезвычайные обстоятельства), если данное обстоятельство признано решением Правительства Российской Федерации или органа государственной власти соответствующего субъекта Российской Федерации;
8) дисквалификация или иное административное наказание, исключающее возможность исполнения работником обязанностей по трудовому договору;
9) истечение срока действия, приостановление действия на срок более двух месяцев или лишение работника специального права (лицензии, права на управление транспортным средством, права на ношение оружия, другого специального права) в соответствии с федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, если это влечет за собой невозможность исполнения работником обязанностей по трудовому договору;
10) прекращение допуска к государственной тайне, если выполняемая работа требует такого допуска;
...13) возникновение установленных настоящим Кодексом, иным федеральным законом и исключающих возможность исполнения работником обязанностей по трудовому договору ограничений на занятие определенными видами трудовой деятельности. ..

в случае несоответствия работника занимаемой должности

если допустим не прошел аттестацию