Могут ли в отделе кадров не выдать копии документов, потому, что работник в момент запроса их находиться на больничном?

Ваши кадры нарушают ТК РФ. Если Вы предполагаете, что болеть будете еще долго, то направляйте заявление о выдаче копии документов заказным письмом с уведомлением о вручении и описью вложения. В заявлении укажите, что копии документов просите отправить на указанный адрес. Ст. 62 не предусматривает обязанность работодателя выдавать копии документов только тем работникам, которые фактически находятся на работе.

нет.. они должны выдавать по первому требованию

что за "момент запроса"? по вашему письменному заявлению обязаны выдать в течение 3-х дней. вы заявление подавали?
ТК РФ
Статья 62. Выдача документов, связанных с работой, и их копий
По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику трудовую книжку в целях его обязательного социального страхования (обеспечения), копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.
(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 21.07.2014 N 216-ФЗ)
Части вторая - третья утратили силу. - Федеральный закон от 30.06.2006 N 90-ФЗ.
Работник обязан не позднее трех рабочих дней со дня получения трудовой книжки в органе, осуществляющем обязательное социальное страхование (обеспечение), вернуть ее работодателю.