Может ли работодатель изменить мой график и время рабочее без моего согласия ?

Работодатель имеет право изменить ваш график работы уведомив вас об этом не позднее, чем за 2 месяца, а если вы не согласны с изменением условий трудового договора, то он имеет полное право вас уволить. Только смысла в этом нет никакого, т. к. вы осуществляете уход за больным членом семьи, то даже если вы согласитесь работать на полную ставку, то можете потом написать заявление на установлениевам режима неполного рабочего времени и по предъявлении мед. заключения о необходимости ухода за больним, работодатель обязан будет установить вам неполное рабочее время и вы снова будете работать в прежнем режиме.
в отпуск без содержания без вашего на то согласия отправить не имеют права, не пишите заявление и всё, приходите на работу и сидите всё лето в своей группе.
Ну, а заставить работодателя предоставить вам возможность кого-то заменять нельзя, это его дело, кому из работников предложить подработку.

Всё зависит от трудового договора, читайте, что в нём написано...

Без Вашего согласия - нет. Все изменения условий работы должны быть перечислены в дополнительном соглашении к трудовому договору и подписаны обеими сторонами (Вами и работодателем). Если с изменениями не согласны - не подписывайте ДС. Будут настаивать - обратитесь с жалобой к ГИТ. Но скорее всего после этого У Вас будет много времени для ухода за отцом в связи с отсутствием основного места работы.

Если меняет значит может. А вот имеет ли право? Это уже другой вопрос. При сов депе эти вопросы решались на уровне профсоюза, теперь это вопрос трудового договора, трудового кодекса и частного юриста.

Нет, по закону не имеет права. Причём даже если вы подписали трудовой договор, в котором написано что-нибудь вроде "...менять без согласования с работником...",это ситуации не меняет, поскольку в трудовом кодексе есть пункт, согласно которому трудовой договор не может ограничивать права работника, иначе он будет являться недействительным.
Что касается увольнения, считаю нужным напомнить, что работодатель при увольнении обязан предоставить объяснение о причинах увольнения (веских причинах) в письменном виде, в противном случае он рискует нарваться на конфликт с инспекцией труда.