Законно ли работать сутки через сутки?

Если по закону, то нет, если хочешь зарабатывать то молчи....

не хотят?

заяву об увольнении заказным письмом и на 2 недели на больничный.
через 2 недели свободен.

Нет. Такой график не дает работнику достаточного отдыха.

трудовая инспекция жалобу напиши - их вздрючат а тебя точно после этого сразу уволят

Как временная замена заболевшего сотрудника возможно. Но не продолжительное время. Не согласны - увольняйтесь. Иначе подорвете свое здоровье.

Можете уволиться день в день. В связи с нарушением ТК РФ. Но возможен гемор, так что лучше как вам рассказали выше письмо или телеграмма и больничный. Если же не хотите идти на компромис, то пишите в заявлении в связи с нарушением ТК РФ и ваших трудовых прав, а именно нарушение сменности (приводите факты) и неуведомлении о графике работ в установленный законом срок, просите уволить в день подачи заявления те с дата. подпись! То же телеграммой на юр. адрес. Но возможно придется потом судиться, перспективы выиграть дело - отличное!

Если вы согласились, допустим, по причине того, что "нагрузка непыльная", при небольшой з/пл. и нужно просто положенное время отбыть, например на кушетке, в сладком сне - одна история, если при обоюдном согласии - вам доплачивают ( в тройном размере, с учётом сменности ) - это другая история, НО если при большой нагрузке и ответственности оказывается психологическое ( иное давление работодателем или его представителем ) - вы вправе обратиться в трудовую инспекцию, или прокуратуру ( в т. ч. ведомственную), нанять адвоката ( или вам будет предоставлен гос. защитник, если дело потребует судебных разбирательств) по защите своих прав, поскольку в любом случае прослеживается грубое нарушение ТК РФ .

Вообще-то можно просто не выходить на работу. Сами уволят по причине отсутствия. Не законно это.